Problematyka badawcza

• Teoria reprezentacji algebr
  

• • Homologiczne i kategoryjno-funktorialne zagadnienia teorii reprezentacji:
    

• • • Teoria nakryć Galois dla kategorii modułów i funktorów.
    • Wymiar Krulla-Gabriela i Hipoteza Presta.
    • Homologiczne problemy dla algebr artinowskich definiowanych przez własności kołczanu Auslandera-Reiten i strukturę kołczanu składowych.

• • Struktura kategorii modułów nad algebrami samoinjektywnymi:

• • • Klasyfikacje samoinjektywnych algebr skończonego typu reprezentacyjnego nad dowolnym ciałem.
    • Ważone algebry powierzchni zwartych i symetryczne algebry okresowe o okresie 4.
    • Klasyfikacje oswojonych algebr samoinjektywnych dla klas zdefiniowanych przez własności ograniczonego kołczanu Gabriela.
    • Zdeformowane algebry preprojektywne uogólnionego typu Dynkina.

• • Kategorie pochodne i równoważności kategorii triangulowalnych:
    

• • • Kategorie pochodne algebr delikatnych i ich równoważności.
    • Mutacje symetrycznych algebr okresowych.
    • Kategorie operatorów nilpotentnych z flagami niezmienniczych podprzestrzeni vs. koherentne snopy nad rzutowymi prostymi ważonymi.
      

• • Algorytmiczne i kombinatoryczne aspekty teorii reprezentacji:
    

• • • Odtwarzanie informacji o strukturze i własnościach kategorii dokładnych z poziomu grupy Grothendiecka.
    • Algorytmy konstruowania macierzowych reprezentacji nierozkładalnych.
    • Problem Birkoffa, podprzestrzenie nilpotentne, zliczanie filtracji podmodułowych i wielomiany Halla.
    • Konstrukcje kombinatorycznych niezmienników determinujących kształt ograniczonego kołczanu Gabriela dla wyróżnionych klas algebr.

• Wybrane zagadnienia geometrii algebraicznej
  

• • Geometria rozmaitości modułów:
    

• • • Globalne własności rozmaitości modułów i ich nieprzywiedlnych składowych.
    • Porządek degeneracyjny pomiędzy orbitami modułów w zależności od własności algebry.
    • Lokalne geometryczne własności domknięć orbit w rozmaitościach modułów.
    • Klasyfikacje wybranych klas osobliwości w domknięciach orbit modułów.
    • Przestrzenie styczne, generatory ideałów zer oraz przekroje poprzeczne dla domknięć orbit modułów.

• • Degeneracje algebr:

• • • Profilowane procesy degeneracyjne.
    • Opis schematu geometrycznych degeneracji wewnątrz wyróżnionych klas algebr.

• Derywacje, pierścienie stałych i Hipoteza Jakobianowa

• • • Faktoryzacje bezkwadratowe i radykalne vs. Hipoteza Jakobianowa.
    • Hipoteza Jakobianowa w charakterystyce dodatniej.
    • Warunki jakobianowe dla wielomianów nad dziedzinami z jednoznacznością rozkładu.
    • Struktury algebraiczne na zbiorach uogólnionych.

• Zastosowania metod algebraicznych w fizyce matematycznej, biologii molekularnej i topologicznej analizie danych
  

• • • Struktury Poissona i rozmaitości symplektyczne.
    • Reprezentacje algebr delikatnych a topologiczna kwantowa teoria pola.
    • Superoperatory zachowujące własność hermitowskości w kwantowej teorii informacji.
    • Wielomiany wiążące w kontekście ilościowej analizy interakcji białko–ligand.
    • Moduły persystencji i homologie w topologicznej analizie danych.